求解一元二次方程的思路
求解一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2+bx+c=0
ax2+bx+c=0 的思路，将该方程转化为
(
x
−
x
′
)
2
=
K
(x-x')^2=K
(x−x′)2=K，得到
x
=
±
K
+
x
′
x = \pm\sqrt{K}+x'
x=±K
+x′
所以有如下转化过程：
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
x
2
+
b
a
x
+
b
2
4
a
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
ax^2+bx+c=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
ax2+bx+c=0x2+abx+ac=0x2+abx=−acx2+abx+4a2b2=4a2b2−ac(x+2ab)2=4a2b2−4ac 由此可以得到，
K
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
x
′
=
−
b
2
a
K=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x' = -\frac{b}{2a}
K=4a2b2−4acx′=−2ab 所以得到求根公式：
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
引入虚数
i
i
i 后，方程的解
当
b
2
−
4
a
c
<
0
b^2-4ac < 0
b2−4ac<0 时，由
−
a
=
a
i
,
a
>
0
\sqrt{-a} = \sqrt{a}i,a>0
−a
=a
i,a>0 可知，
b
2
−
4
a
c
=
4
a
c
−
b
2
i
\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4ac-b^2}i
b2−4ac
=4ac−b2
i
最后方程的解为：
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
,
b
2
−
4
a
c
>
=
0
−
b
±
4
a
c
−
b
2
i
2
a
,
b
2
−
4
a
c
<
0
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},b^2-4ac>=0 \\ \frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a},b^2-4ac<0 \\
2a−b±b2−4ac
,b2−4ac>=02a−b±4ac−b2
i,b2−4ac<0
方程的解，要么都为实数根，要么都为复数根